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Triangulación. Liu Hui (c. doscientos sesenta y tres): ¿De qué forma se mide la altura de una isla del mar? Ilustración de una edición de 1726.Atlas de Cresques, 1375: Baleares y costa mediterránea ibérica.Red de triangulación de Renania-Hesse. Siglo XIX.

El procedimiento de la triangulación para calcular las distancias se remonta a la antigüedad. En el Viejo Egipto esta técnica ya era famosa a inicios del II milenio a. de C., puesto que en el inconveniente cincuenta y siete del papiro Rhind se describe el seqt o bien seked como la pendiente (hipotenusa) de un triángulo rectángulo, definido como la relación de 2 números enteros (catetos). Semejantes, en el siglo VI antes de Cristo, emplea triángulos semejantes para calcular la altura de las pirámides de Egipto, midiendo la longitud de sus sombras y comparándolas con su sombra. Herón de Alejandría (siglo I) determina la longitud de una distancia triangulando y emplea un instrumento que se conoce como el dioptra de Herón.


En China, Pei Xiu (doscientos veinticuatro-doscientos setenta y uno), en el quinto de sus 6 principios, identificó la medición de los ángulos rectos y agudos para un conveniente trazado de mapas, preciso para establecer con precisión las distancias; al paso que Liu Hui (c. doscientos sesenta y tres) da una versión del cálculo precedente para la medición de las distancias perpendiculares a lugares inalcanzables.


Los métodos de triangulación usados por los agrimensores se introdujeron en la Españamedieval por medio de múltiples tratados árabes sobre el astrolabio, como el de Ibn al-Saffar († mil treinta y cinco). Al-Biruni († mil cuarenta y ocho) introdujo asimismo las técnicas de triangulación para medir el tamaño de la Tierra y las distancias entre distintos lugares, si bien dichos métodos semejan haber llegado poco a poco al resto de Europa. El astrónomo Tycho Brahe aplicó el procedimiento en Escandinavia, triangulando en mil quinientos setenta y nueve la isla de Hven. Lo emplearon los ingleses William Cunningham Cosmographical Glasse (mil quinientos cincuenta y nueve), Valentine Leigh Treatise of Measuring All Kinds of Lands (mil quinientos sesenta y dos), William Bourne Rules of Navigation (mil quinientos setenta y uno), Thomas Digges Geometrical Practise named Pantometria (mil quinientos setenta y uno) y John Norden Surveyor's Dialogue (mil seiscientos siete).


Cartografía a través de triangulación


En España, el portulano más viejo se data en mil doscientos noventa y seis y es propio de los siglos XIV y XV. El cartógrafo holandés Gemma Frisius planteó usar la triangulación para determinar con precisión la situación de lugares lejanos en su escrito de 1533Libellus de Locorum describendorum ratione.


Las modernas redes de triangulación


El empleo sistemático de las modernas redes de triangulación deriva de los trabajos del matemático holandés Willebrord Snell, quien en mil seiscientos quince estudió la distancia de Alkmaar a Bergen-op-Zoom, más o menos ciento diez km (setenta millas), usando un conjunto de treinta y tres triángulos. Las 2 urbes estaban separadas un grado sobre el meridiano, y con su medición fue capaz de calcular la longitud de la circunferencia de la Tierra -una proeza que festeja en el título de su libro Eratóstenes Batavus (Los Eratóstenes holandeses), publicado en mil seiscientos diecisiete. Snell calculó la manera de corregir las fórmulas para amoldarlas a la curvatura de la Tierra.




Con los métodos de Snell, Jean Picard mide en mil seiscientos sesenta y nueve-setenta un grado de latitud a lo largo del meridiano de la ciudad de París encadenando 13 triángulos que se extendían desde el norte de la ciudad de París a la torre del reloj de Sourdon, cerca de Amiens. Merced a las mejoras en los instrumentos y su precisión, es calificada como la primera medición razonablemente precisa del radio de la Tierra. Entre mil seiscientos ochenta y tres y mil setecientos dieciocho Jean-Dominique Cassini y su hijo Jacques Cassini miden, sobre el meridiano de la ciudad de París, desde Dunquerque a Perpiñán, y entre mil setecientos treinta y tres y mil setecientos cuarenta, Jacques y su hijo César Cassini hacen la primera triangulación de todo el país, incluyendo un nuevo estudio del meridiano, lo que lleva a la publicación en mil setecientos cuarenta y cinco del primer mapa de Francia, construido sobre principios estrictos.


A finales del siglo XVIII otros países empezaron a establecer medidas con redes de triangulación para conseguir mapas de sus países. La Primordial Triangulation of Britain se comenzó por la Ordnance Survey en mil setecientos ochenta y tres, si bien no se acabó hasta mil ochocientos cincuenta y tres. El Gran Trigonometric Survey de la India, que cartografió el Monte Everest y los otros picos del Himalaya, empezó en mil ochocientos uno.


Actualmente, las redes de triangulación a gran escala han sido reemplazadas por el Sistema global de navegación por satélite (GNSS), establecidas desde la década de mil novecientos ochenta. No obstante, muchos de los puntos de control de los precedentes estudios todavía perviven como valiosos elementos históricos del paisaje, como los pilares de hormigón establecidos para la retriangulación de G. Bretaña (mil novecientos treinta y seis-mil novecientos sesenta y dos), o bien los puntos de triangulación del arco geodésico de Struve (mil ochocientos dieciseis-mil ochocientos cincuenta y cinco), proclamados por la UNESCOPatrimonio de la Humanidad.

Triangulación geodésica.En situación B, se pueden calcular las coordenadas utilizando los puntos conocidos P1, P2 y P3 en un plano horizontal. Medir la distancia r1 se pone en un círculo. Medir r2 se pone en 2 puntos A o bien B. Medir la tercera distancia r3, da las coordenadas del punto B. Eso se conoce como resección o bien trilateración.

La triangulación de superficies es un procedimiento de conseguir áreas de figuras poligonales, por norma general irregulares, a través de su descomposición en formas triangulares. Como resulta lógico, la suma de las áreas de los triángulos da como resultado el área total.


El área de un triángulo se encuentra a través de la próxima ecuación:

S=bh2=base·altura2

siendo S la superficie, b la longitud de cualquiera de los lados del triángulo y h la distancia perpendicular entre la base y el vértice opuesto a dicha base.


Mediante triangulación, se pueden conseguir las coordenadas de un punto no alcanzable B (el navío de la imagen). Primero, se calcula la distancia (A-C) existente entre 2 puntos alcanzables de la costa (cuyas coordenadas son A y C). Si medimos la amplitud de los ángulos de vértices (A) y (C), a través de trigonometría, conseguiremos las distancias (A-B) y (C-B) y, por consiguiente, las coordenadas del tercer punto no accesible: B.


Resección: asimismo en geodesia, conocidas las distancias a 3 puntos y sus coordenadas, a través de trigonometría, se pueden determinar las coordenadas del punto del observador.


En este contexto, la triangulación a través de GPS consiste en descubrir la distancia de cada una de las 3 señales con respecto al punto de medición. Conocidas las 3 distancias se determina sencillamente la propia situación relativa con respecto a los 3 satélites. Además de esto es imprescindible conocer las coordenadas o bien situación de cada uno de ellos de los satélites. De este modo se consigue la situación absoluta o bien coordenadas reales del punto de medición. Este proceso recibe el nombre de trilateración.


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