[Enciclopedia Online Gratuita] Diccionario de Internet y Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC):
ıllı Transformada de Abel wiki: info, historia y vídeos
La información contenida en esta web debe ser considerada como información general, de carácter formativo, educativo o divulgativo, y no puede ser utilizada o interpretada como consejo o diagnótico médico, psicológico o de ningún otro tipo. Es posible que algunos datos mostrados no esten actualizados. Por ello, en caso de duda lo recomentable es consultar a un experto cualificado.
- Detalles
- Categoría: INTERNET
Transformada de Abel
En matemáticas, la transformada de Abel, llamada de esta manera por Niels Henrik Abel, es una transformada integral habitualmente utilizada en el análisis de funciones de simetría esférica o bien axial. La transformada de Abel de una función f(r) está dada por: Si f(r) tiende a cero más velozmente que 1/r, la transformada inversa de Abel viene dada por En análisis de imágenes, se utiliza una transformada de Abel para proyectar una función de emisión ópticamente delgada y de simetría axial sobre un plano. La transformada inversa se utiliza para calcular la función de emisión, dada una cierta proyección (ej. un escaneo o bien una foto) de esta función. Recientemente la transformada inversa de Abel (y sus variaciones) se ha transformado en la piedra angular del análisis de datos de imágenes tipo fotón/fragmento/ion (photofragment-ion imaging) y fotón/electrón (photoelectron imaging). Entre las más notables extensiones recientes de la transformada inversa de Abel están los métodos Onion Peeling y BAsis Set Expansion (BASEX) para análisis de imágenes tipo fotón/electrón y fotón/ion. En 2 dimensiones, la transformada de Abel F(y) puede ser interpretada como la función de simetría circular f(r) durante un conjunto de líneas de visión, las que están a una distancia y desde el origen. En referencia a la figura de la derecha, el observador (I) verá: donde f(r) es la función de simetría circular representada en gris en la figura. Se acepta que el observador está en x = 8 de forma que los límites de integración son ±8 y todas y cada una de las líneas de visión son paralelas al eje x. Apreciando que el radior se relaciona con x y con y vía r2 = x2 + y2, se prosigue que: El intervalo de integración en r no pasa por cero, y puesto que los dos f(r) y la expresión de arriba para dx son funciones pares, podemos escribir: Substituyendo la expresión paradx en concepto de ry reescribiendo los límites de integración acordemente, resulta la transformada de Abel. La transformada de Abel puede extenderse a dimensiones más altas. La extensión a 3 dimensiones es de particular interés. Si tenemos una función de simetría axial f(?,z) donde ?2 = x2 + y2 es el radio cilíndrico, entonces podríamos apreciar saber la proyección de esa función sobre el plano paralelo al eje z. Sin pérdida de generalidad, podemos elegir el plano yz de forma que: la como es justo la transformada de Abel de f(?,z) en ? y y. La simetría esférica es un tipo particular de simetría axial. En este caso, tenemos la función f(r) donde r2 = x2 + y2 + z2. La proyección sobre, afirmemos el plano yz, va a ser circularmente simétrica y expresable como F(s) donde s2 = y2 + z2. Realizando la integración, tenemos: lo como es asimismo la transformada de Abel de f(r) en r y s. Asumiendo que f es continua y diferenciable en todo punto y que f, f' tienden a cero más veloz que 1/r, podemos hacer u=f(r) y v=r2-y2. Integrando por partes se tendrá: Diferenciando formalmente, Ahora, sustituyendo esto en la fórmula de la transformada inversa de Abel: Por el Teorema de Fubini, la última integral es igual a: La transformada de Abel es un miembro del ciclo FHA de operadores integrales. Por servirnos de un ejemplo, en 2 dimensiones, si definimos A como el operador transformada de Abel, F como el operador transformada de Fourier y H como el operador transformada de Hankel de orden cero, entonces, un caso singular del Teorema de proyección-rebanada para funciones de simetría circular establece que: En otras palabras, aplicando la transformada de Abel a una función 1-dimensional y después aplicando la transformada de Fourier resulta ser lo mismo que aplicar la transformada de Hankel a esa función. Este término puede extenderse a más dimensiones. La tranformada de Abel es una proyección de f(r) durante un eje particular.La transformada de Radon dos-dimensional nos da la transformada de Abel no solo como función de la distancia a lo largo del eje de visión, sino más bien asimismo como función del ángulo de este eje.
F(y)=?-88f(x2+y2)dx Relación con las transformadas de Fourier y Hankel
Relación con la transformada de Radon
