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ıllı Paradoja de Braess wiki: info, historia y vídeos

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salud  Paradoja de Braess 


Un principio básico que es preciso comprender ya antes de entrar en el ejemplo de la paradoja es que cuantos más vehículos emplean una vía, más se reduce la velocidad de todos y cada uno de los automóviles que la emplean y se llega a un mayor tiempo de viaje. Aquellas vías que tienen mayor capacidad (por poner un ejemplo, más carriles para tráfico) van a poder cobijar más automóviles sin que la velocidad se vea perjudicada, al paso que vías con poca capacidad se congestionan más veloz.


El siguiente principio debe ver con que los usuarios de las vías tienden a elegir la senda que más les es conveniente individualmente (de ahí que se les llama usuarios “egoístas”) y esto implica que cada usuario va a tratar de buscar la senda que le represente menores tiempos de viaje (ver primer principio de Wardrop) Las 2 sendas son idénticas. En un caso así, bajo el principio de que los conductores eligen la senda de forma ególatra (cada usuario va a buscar disminuir al mínimo su tiempo de viaje), al final se van a repartir de tal manera que por los 2 lados haya igual congestión.


Determine el número de automóviles por cada una de las posibles sendas y los tiempos de viaje, ya antes y tras la construcción de la vía entre A y B. El total de automóviles por que van del punto START al punto END es cuatro mil.


Suponga que se tiene una red como la de la figura tres. Los arcos de baja capacidad tiene la próxima función de demora:


ti=t0Va100.


Para los arcos de alta capacidad (autopistas), el número de automóviles no les afecta los tiempos de viaje. Para este caso de ejemplo, esos arcos van a tener un tiempo de viaje de cuarenta y cinco min. Ya antes de la construcción de la nueva vía (línea punteada) existen únicamente 2 posibles sendas entre los puntos START y END. Los tiempos para los viajantes que circulan por la senda que pasa por la urbe A se calculan con:


ta=VA100+45.


Los tiempos para los viajantes que circulan por la senda que pasa por la urbe B se calculan con:


ta=VB100+45.


La limitación para el inconveniente de optimización es:


VA+VB=4000.


Sustituyendo la limitación en una de las 2 ecuaciones y también igualando con la excedente, se consigue que VA=VB=2.000. Con esta solución, los usuarios por cualquiera de las 2 vías se van a tardar 2000100+45=65 minutos.


Red modificada


Ahora suponga que se edifica una vía que deja conectar A y B en un tiempo cortísimo (dos minutos). Los viajantes que desean llegar a B desde el punto de comienzo, van a preferir tomar la senda pasando por A y utilizando el nuevo tramo AB en tanto que VT100+1=4000100+1=41<45. Al final, todos y cada uno de los usuarios van a tomar exactamente la misma senda y el tiempo total de viaje será:


4000100+1+4000100=81 minutos.


Este tiempo es mayor que el tiempo ya antes de hacer la mejora.


Vale la pena preguntarse si existe patentiza en el planeta real de redes de transporte que aumenten su eficiencia siendo privadas de alguna vía que ya antes formaba parte de ellas. La cuestión en sí es bastante difícil de contestar, puesto que las redes de transporte humanas son meridianamente muy complejas y por lo general existen muchos factores responsables de la eficiencia de la red.


Sin embargo ramas de las matemáticas como la teoría de grafos y la probabilidad ofrecen una contestación a la pregunta; puesto que se puede patentizar que en una red azarosa dotada de determinadas funciones que modelen su tránsito, exactamente el mismo fenómeno se presenta al quitar ciertas vías.


Para ello se marcha a estimar una red posible de tránsito modelada mediante un grafo azaroso, hecho esto se puede patentizar que normalmente las condiciones de la red dejan que al quitar vías la movilidad sea más eficaz.


Modelamiento de una red de transporte mediante un grafo


Los grafos en si mismos forman una forma muy recomendable de modelar y representar redes (no solo de tránsito), por eso sea natural utilizarlos para poder ver de ser posible localizar ejemplos más generales y próximos a la realidad donde se presente este comportamiento paradójico.


Comience definiendo la red como el grafo G=(V,E) con un vértice de salida s y otro de llegada t y denote el conjunto de los caminos simples que van de s a t como P?Ø, el flujo de la red es un número real no negativo y para un flujo fijo se define el flujo del tránsito en un camino p?P como fp, y diríase que fe=?p?P:e?pfp es la cantidad de tráfico que pasa por la arista e en la senda s-t. La cantidad de tráfico en toda la red se llama la tasa de tráfico y se aprecia con una r y el flujo se afirma viable si ?p?Pfp=r.


Modelamos la "congestión" de la red asignándole a cada arista e una función no negativa, continua y no decreciente llamada función de demorale que describe la congestión en la arista e como función de el flujo fe la demora total de un s-t camino p respecto al flujo f está dado entonces por lp(f)=?e?ele(fe). Para finalizar se define la tripla (G,r,l) como una instancia.


Flujo de Nash


En teoría de juegos es muy conocido el término del Equilibrio de Nash, en este ámbito; y puesto que la resolución de cada usuario al seleccionar una senda es una resolución ególatra, podemos interpretar el equilibrio de Nash como una propiedad del flujo por medio de la red.


Dado f un flujo viable para (G,r,l) diríase que este es un Nash-flujo o bien sencillamente un equilibrio de Nash si para toda p1,p2?P con fp1>0, se cumple lp1(f)=lp2(f). O bien, en otras palabras todos y cada uno de los caminos tienden a tener exactamente la misma "demora", lo que se puede patentizar meridianamente en el ejemplo, puesto que pasado el tiempo los usuarios tenderán a elegir el camino que les deje llegar a todos lo más veloz posible, y por tanto el tiempo que retardan todos en llegar desde el punto de partida al de llegada es exactamente el mismo. Además de esto asimismo se sabe que en una red en donde los usuarios pueden elegir su senda de forma ególatra tiene un solo equilibrio de Nash.


La paradoja en grafos aleatorios


Al estimar el modelo precedente sobre un grafo azaroso (por lo general un grafo grande), asumiendo que el flujo es un equilibrio de Nash y definiendo la distancia entre 2 vértices como el menor número de aristas que los conectan, se puede demostrar que todos y cada uno de los "vértices internos" guardan parcialmente exactamente la misma distancia con s (y t), de manera intuitiva se puede ver esto entendiendo que hay un número cuadrático de aristas internas, al paso que solo hay un número linear de las aristas incidentes en los extremos s y t, entonces podemos ver la red fundamentalmente como 2 conjuntos de vías que van desde el punto de partida "un punto intermedio artificial" (apreciado en la figura cuatro como f) en el que se concentra todo el flujo del sistema, y de ahí hasta el de llegada.

Figura4. Conjuntos de aristas

Cada uno de estos 2 conjuntos de vías vistos como conjuntos de aristas del grafo se deben clasificar en 3 tipos: Primero están las aristas cuya función de demora es incesante (como las grandes avenidas de las que se espera en teoría jamás se congestionen), segundo están las aristas cuya función de demora tiende a acrecentar conforme aumenta el tráfico, y tercero el resto de las aristas.

Figura cinco. Diagrama de clasificación de vías

Ordenando los caminos como en la figura cinco hemos dotado al grafo de una estructura afín a la del ejemplo inicial de la paradoja, y retirando las aristas de conexión el subgrafo resultante generalmente tiene un flujo más eficaz que el original.


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