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Sea la señal de banda limitada y paso-bajo x(t) (dominio del tiempo) cuyo fantasma X(f) (dominio de la frecuencia) es nulo para: |f|>W>W\,. Sea asimismo la onda:

Sd(t)=?md(t-mTs)

El producto x(t)·Sd(t) es una onda formada por deltas de peso igual a las muestras de x(t):

xd(t)=x(t)·Sd(t)=x(t)·?md(t-mTs)=?mx(mTs)·d(t-mTs),

que va a dar sitio a otro tren de deltas:

Función escala fs.Sd(f)=fs?md(f-mfs);fs=1Ts

La transformada de xd(t) es la de x(t) repetida y centrada en todos y cada armónico de la frecuencia de muestreo, excluyendo el término incesante o bien la función escala fs.


No se generará solapamiento entre los fantasmas parciales de Xd(f) si se comprueba que:



fs-W=Wfs=2W

De la observación del fantasma Xd(f) se deduce la posibilidad de recobrar x(t) sencillamente pasando xd(t) por un filtro paso-bajo cuya frecuencia de corteB cumpla la condición:

W=B=fs-WEspectro X(f) de la señal paso-bajo.

Se considera la señal paso-bajo x(t), que cumple: X(f)=0 para |f|>Wf, cuyo fantasma X(f) se representa en la figura.


Es posible establecer un desarrollo en Serie de Fourier de X(f), limitado a |f|=Wf del modo siguiente:

X(f)=?nCn·ej2pnf2W,

en dónde los factores Cn del desarrollo vienen dados por:

Cn=12W?-WWX(f)·e-j2pnf2Wdf

Ahora bien, si x(t) es la transformada inversa de X(f):

x(t)=?-WWX(f)ej2pftdf,

de dónde se infiere una relación inmediata entre los Cn y valores particulares de x(t), concretamente:

Cn=12W·x(-n2W)

Así puesto que, puede escribirse el fantasma X(f) de x(t) en concepto de las propias muestrasx(-n2W) de x(t) sin nada más que reemplazar los valores de Cn dados en la ecuación anterior:

X(f)=?n12Wx(n2W)e-j2pnf2W

Para encontrar los términos de x(t) va a bastar con calcular la transformada inversa, resultando así:

x(t)=?nx(n2W)·sinc2W(t-n2W)

Obsérvese que este resultado es consecuencia de la restricción de banda x(t) y que la operación de muestreo aparece en el curso de la especificación de X(f). De este modo, se prueba el llamado Teorema de Muestras, el que asevera que toda señal de banda limitada puede expresarse de modo único en función de sus muestras o bien valores puntuales tomados a intervalos regulares Ts. El valor de Ts va a ser tal que: 1Ts=2W, siendo W la máxima frecuencia fantasmal de la señal.


Este teorema es del mismo modo válido, amoldando ciertas condiciones para muestreo no uniforme y evidentemente para señales paso banda, dependiendo en este caso de la frecuencia de muestreo de la anchura de banda de paso y de la frecuencia central de la señal.


Como corolario del teorema, se puede aseverar que dada la compilación reservada de valores x(n2W) hay una función x(t) y solo una de banda limitada a W que pasa por todos y cada uno de los puntos dados y se edifica a través de la última ecuación.

Muestreo práctico instantáneo.Muestreo práctico natural.

El Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon no impone ninguna demanda en lo que se refiere al modo de conseguir las muestras, con lo que la señal se va a poder reconstruir desde algún procedimiento más susceptible de implementación práctica.


El muestreo práctico difiere del teorético en 3 aspectos principales:



  • La onda muestreadora está constituida por trenes de impulsos de duración no nula.
  • Los filtros prácticos de reconstrucción no son ideales.
  • Los mensajes a los que se aplica el teorema no están rigurosamente limitados en banda, ni pueden, en tanto que se trata de señales limitadas en el tiempo.

Clases de muestreo práctico


Sea un impulso arbitrario cualquiera p(t), tal que: p(t)=0 para |t|=Ts2t (lo que evita que se solapen los impulsos básicos) y sea la onda:

s(t)=?mp(t-mTs)

Una posible forma de trasmitir las muestrasx(t) es emplear las muestras como amplitud del impulso m-ésimo, centrado en el momento del muestreo, o sea, formar la señal:

xpi(t)=?mx(mTs)·p(t-mTs),

que es un tren de impulsos, cada uno de ellos de los que viene perjudicado por un factor de escala (peso o bien amplitud) igual al valor instantáneo x(mTs).La señal precedente forma un caso básico de muestreo práctico instantáneo.


En el caso del muestreo práctico natural, en lugar de afectar a cada impulso con un valor instantáneo de x(t) se le multiplica punto a punto por cada uno de ellos de los valores de x(t) en el intervalo de existencia, en otras palabras, se forma el producto genérico x(t). Sumando semejantes productos se consigue esta clase de muestreo, que se puede representar a través de la ecuación:

xpn=x(t)?mp(t-mTs)

La repercusión de los filtros de reconstrucción no ideales se observa de forma fácil en el dominio de la frecuencia. En la próxima figura se representa una parte del fantasma de una señal muestreada, supuesto sin distorsión y una posible característica de trasferencia de un filtro paso-bajo real.

Fragmento del fantasma de una señal muestreada.

Si tal característica es razonablemente plana en la banda pasante de la señal |f|

Para señales vocales esas componentes como zumbidos de alta frecuencia solo están presentes cuando lo está la señal x(t) que por su mayor nivel, tiende a disfrazarlas, y por consiguiente su presencia es de manera fácil aceptable. Estas componentes pueden eliminarse a través de un diseño conveniente del filtro y para un filtro dado, incrementando la frecuencia de muestreo (y en consecuencia fs-W) y también introduce bandas de guarda en el fantasma.


Se puede resumir el enunciado del Teorema contemplando señales y métodos de muestreo reales, del modo siguiente: Si una señal x(t) ha sido filtrada en paso-bajo de tal modo que tiene componentes fantasmales sobre W, puede describirse apropiadamente para muchas aplicaciones a través de muestras instantáneas o bien de duración no nula, separadas uniformemente en el tiempo por un intervalo Ts=12W.


Si se ha muestreado la señal al régimen de Nyquist o bien mayor y las muestras se representan a través de impulsos periódicos cuya amplitud sea proporcional a sus valores, puede reconstruirse la misma señal desde sus muestras a través de un filtrado paso-bajo.


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