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Modelo matemático

En ciencias aplicadas y en tecnología, un modelo matemático es uno de los modelos de modelos científicos que emplea algún género de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, factores, entidades y relaciones entre variables de las operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones bastante difíciles de observar en la realidad. El término modelización matemática es empleado asimismo en diseño gráfico cuando se habla de modelos geométricos de los objetos en 2 (2D) o bien 3 dimensiones (3D).

El significado de modelo matemático en filosofía de la matemática y fundamentos de la matemática es, no obstante, algo diferente. Específicamente en esas áreas se trabajan con "modelos formales". Un modelo formal para una cierta teoría matemática es un conjunto sobre el que se han definido un conjunto de relaciones unarias, binarias y trinarias, que satisface las proposiciones derivadas del conjunto de axiomas de la teoría. La rama de la matemática que se hace cargo de estudiar de manera sistemática las propiedades de los modelos es la teoría de modelos.

Un modelo matemático de un objeto (fenómeno real) es cualquier esquema simplificado y también idealizado del mismo, constituido por símbolos y operaciones (relaciones) matemáticas. Un modelo matemático es un caso de formalización que emplea los más distintos instrumentos producidos en la ciencia matemática .

Cabe mentar únicamente ciertos principios generales y condiciones que deben cumplir dichos modelos.

Equivalencia

que es la correspondencia del modelo a su original.

Objetividad

correspondencia de las conclusiones científicas a las condiciones reales.

Simplicidad

los modelos no han de estar sobresaturados de factores secundarios.

Sensibilidad

la competencia del modelo de contestar a la alteración de los factores iniciales.

Estabilidad

a cada alteración pequeña de los factores iniciales le debe corresponder una perturbación pequeña en la solución del inconveniente.

Universalidad

el área de aplicación ha de ser suficientemente vasta.

Se podría decir que un modelo de las ciencias físicas es una traducción de la realidad física de un sistema físico en términos matemáticos, o sea, una forma de representar cada uno de ellos de los modelos de entidades que intervienen en un cierto proceso físico a través de objetos matemáticos.Las relaciones matemáticas formales entre los objetos del modelo, deben representar de alguna forma las relaciones reales existentes entre las distintas entidades o bien aspectos del sistema o bien objeto real. De esta manera una vez "traducido" o bien "representado" cierto inconveniente en forma de modelo matemático, se pueden aplicar el cálculo, el álgebra y otras herramientas matemáticas para inferir el comportamiento del sistema bajo estudio. Un modelo físico requerirá en consecuencia que se pueda continuar el camino inverso al modelado, dejando reinterpretar en la realidad las predicciones del modelo.

Según la información de entrada

Con con respecto a la función del origen de la información usada para edificar los modelos pueden clasificarse de otras formas. Podemos distinguir entre modelos heurísticos y modelos empíricos:

Modelos heurísticos (del heleno euriskein 'hallar, inventar'). Son los que están basados en las explicaciones sobre las causas o bien mecanismos naturales que dan sitio al fenómeno estudiado.
Modelos experimentales (del heleno empeirikos relativo a la 'experiencia'). Son los que usan las observaciones directas o bien los resultados de ensayos del fenómeno estudiado.

Según el género de representación

Además los modelos matemáticos hallan diferentes denominaciones en sus distintas aplicaciones. Una posible clasificación puede atender a si pretenden hacer predicciones de tipo cualitativo o bien pretende cuantificar aspectos del sistema que se está modelizando:

Modelos cualitativos o bien ideales, estos pueden utilizar figuras, gráficos o bien descripciones causales, por norma general se satisfacen con pronosticar si el estado del sistema va a ir en cierta dirección o bien si va a aumentar o bien reducirá alguna magnitud, sin importar lo más mínimo precisamente la magnitud específica de la mayor parte de aspectos.
Modelos cuantitativos o bien numéricos, emplean números para representar aspectos del sistema modelizado, y por norma general incluyen fórmulas y algoritmos matemáticos aproximadamente complejos que relacionan los valores numéricos. El cálculo con exactamente los mismos deja representar el proceso físico o bien los cambios cuantitativos del sistema modelado.

Según la aleatoriedad

Otra clasificación independiente de la precedente, conforme si a una entrada o bien situación inicial específica pueden corresponder o bien no diferentes salidas o bien resultados, en un caso así los modelos se clasifican en:

Determinista. Se conoce puntualmente la manera del resultado en tanto que no hay inseguridad. Además de esto, los datos usados para nutrir el modelo son absolutamente conocidos y ciertos.
Estocástico. Probabilístico, que no se conoce el resultado aguardado, sino más bien su probabilidad y existe por lo tanto inseguridad.

Clasificación conforme su aplicación o bien objetivo

Por su empleo acostumbran a emplearse en las próximas 3 áreas, no obstante hay muchas otras como la de finanzas, ciencias etc.

Modelo de simulación o bien gráfico, de situaciones medibles de forma precisa o bien azarosa, por poner un ejemplo con aspectos de programación líneal cuando es de forma precisa, y probabilística o bien heurística cuando es azaroso. Este género de modelos pretende pronosticar qué ocurre en una situación específica dada.
Modelo de optimización. Para determinar el punto preciso para solucionar alguna problemática administrativa, de producción, o bien cualquier otra situación. Cuando la optimización es entera o bien no lineal, combinada, se refiere a modelos matemáticos poco predecibles, mas que pueden acoplarse a alguna opción alternativa existente y aproximada en su cuantificación.Esta clase de modelos requiere equiparar diferentes condiciones, casos o bien posibles valores de un factor y ver como de ellos resulta inmejorable conforme el criterio escogido.
Modelo de control. Para saber con precisión como está algo en una organización, investigación, área de operación, etcétera Este modelo pretende asistir a decidir qué nuevas medidas, variables o bien qué factores deben ajustarse para conseguir un resultado o bien estado específico del sistema modelado.

Un modelo mixto operacional estadístico es una teoría o bien situación causal de hechos y expresado con símbolos de formato matemático. Por servirnos de un ejemplo las tablas de contingencia. En verdad los modelos matemáticos se edifican con múltiples niveles de significación y con diferentes variables.

Kendall y Buckland catalogan hasta cuarenta tipos diferentes de modelos matemáticos. Ejemplos: Rapoport en modelo matemático y también interacción social en mil novecientos sesenta y uno y Bugeda en Sociología matemática en mil novecientos setenta. Por un principio de isomorfismo hay una equivalencia, a lograr, entre un modelo y una teoría. Además de esto teoría y modelo son sinónimos.

Ejemplos de modelos por tipos

Si se emplea la clasificación de modelos conforme su aplicación o bien objetivo (modelos gráficos o bien de simulación, modelos de optimación o bien elección de inmejorable, modelos de control o bien tratamiento) y conforme si se trata de modelos determistas o bien probabilistas se pueden dar ciertos ejemplos ilustrativos:

Se usan para estudiar situaciones extremas, difícilmente observables en la realidad, como por servirnos de un ejemplo los efectos de precipitaciones intensísimas y prolongadas en cuencas hidrográficas, en su estado natural, o bien en las que se ha intervenido con obras como canales, represas, diques de contención, puentes, etc.

La cuenca hidrográfica es dividida en sub-cuencas consideradas homogéneas desde el punto de vista: del género de suelo, de la declividad, de su cobertura vegetal. El número y género de las variables hidrológicas que intervienen en el modelo son función de objetivo concreto para el que se realiza exactamente el mismo.

En muchos casos la construcción o bien creación de modelos matemáticos útiles prosigue una serie de fases bien determinadas:

Identificación de un inconveniente o bien situación compleja que precisa ser simulada, optimada o bien controlada y por ende requeriría un modelo matemático predictivo.
Elección del género de modelo, esto requiere especificar qué género de contestación pretende conseguirse, cuales son los datos de entrada o bien factores relevantes, y para qué exactamente pretende utilizarse el modelo. Esta elección ha de ser suficientemente simple para permitir un tratamiento matemático accesible con los recursos libres. Esta fase requiere además de esto identificar el mayor número de datos fieles, rotular y clasificar las incógnitas (variables independientes y dependientes) y establecer consideraciones físicas, químicas, geométricas, etcétera que representen apropiadamente el fenómeno en estudio.
Formalización del modelo en la que se especificarán qué forma tienen los datos de entrada, qué género de herramienta matemática se empleará, como se amoldan a la información anterior existente. Asimismo podría incluir la confección de algoritmos, ensamblaje de ficheros informáticos, etcétera En esta fase probablemente se introduzcan asimismo simplificaciones suficientes a fin de que el problema de modelización sea tratable computacionalmente.
Comparación de resultados: los resultados conseguidos como predicciones precisan ser equiparados con los hechos observados para poder ver si el modelo está pronosticando bien. Si los resultados no se ajustan bien, es común regresar a la fase 1.

Es esencial mentar que la enorme mayoría de los modelos matemáticos no son precisos y tienen un alto grado de idealización y simplificación, puesto que una modelización muy precisa puede ser más difícil de tratar que una simplificación recomendable, y por tanto resultar menos útil.

También es esencial rememorar que el mecanismo con el que se desarrolla un modelo matemático afecta a el desarrollo de otras técnicas de conocimientos enfocadas al área social y cultural.

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