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Existen 2 géneros de algoritmos de Ley-Mu: una versión analógica y otra digital cuantizada.


Versión analógica


Para una entrada x determinada, la ecuación para la codificación conforme la Ley Mu es:

y=F(x)=sgn?(x)ln?(1+µ|x|)ln?(1+µ)-1=x=1

en la cual:

µ=255: (ocho bits) es el estándar utilizado en Norteamérica y el país nipón.sgn?(x): es la función signo.

En el receptor, la expansión analógica viene dada por la inversa de la ecuación anterior:

F-1(y)=sgn?(y)1µ((1+µ)|y|-1)-1=y=1

Versión digital


La Ley Mu, en su forma cuantificada digital, está definida en la Recomendación G.711. El comportamiento de la cuantificación se acerca al de la codificación analógica a través de dieciseis segmentos rectilíneos, mas como los segmentos que pasan por el origen son colineales, estos se consideran uno solo, quedando en suma quince segmentos, nombrándose estos como 0, ±1 hasta ±7. Digitalmente, es aplicada una cuantificación no uniforme (logarítmica) a la señal original, en la que existen pequeños pasos de cuantificación para los valores pequeños de amplitud y pasos de cuantificación grandes para los valores grandes de amplitud. No obstante, esta recomendación es poco clara sobre de qué forma codificar los valores en el tope de un rango (por servirnos de un ejemplo, si a +31 le toca el número hexadecimal 0xEF o bien el 0xF0). No obstante, la Recomendación G.191 ofrece un caso de código en lenguaje C para un codificador de Ley Mu lo que da la codificación de la tabla anexa a esta sección.En este caso, cada muestra de señal de audio telefónico se transforma a su equivalente a catorce bits: un bit de signo "S" (0=negativo y 1=positivo) pero trece bits de magnitud. Ya antes de la determinación del segmento de cada muestra, el bit de signo se retira y se aplica un desplazamiento de treinta y tres unidades al código lineal con lo que la mayor muestra es de ocho mil ciento noventa y dos-33=8159 y la resolución es de 2/8159. Este desplazamiento deja transformar los extremos de cada segmento en números que son potencias de dos lo que facilita la determinación de segmento y de paso de cuantificación.Finalmente, el conjunto de bits se comprime, sin afectar al bit de signo, como se señala seguidamente en la tabla:

Codificación binaria de Ley MuSegmentoCódigo lineal binario de catorce bitsCódigo comprimido de ocho bits0S00000001ABCDXS000ABCD±1S0000001ABCDXXS001ABCD±2S000001ABCDXXXS010ABCD±3S00001ABCDXXXXS011ABCD±4S0001ABCDXXXXXS100ABCD±5S001ABCDXXXXXXS101ABCD±6S01ABCDXXXXXXXS110ABCD±7S1ABCDXXXXXXXXS111ABCD

Durante la compresión, como se observa en la tabla, se descartan los bits menos significativos de las señales grandes. La cantidad de estos bits es representada por 3 bits, los que pasan al código comprimido tras el bit de signo "S" así como cada uno de ellos de los pasos de cuantificación indicados como "ABCD". El número de tres bits representa cada uno de ellos de los segmentos en que se divide la curva F(x). Ya antes de la transmisión de cada código comprimido, este es invertido, puesto que las señales de baja amplitud tienden a ser más numerosas que las grandes. La inversión de los bits acrecienta la densidad de los pulsos positivos en el medio de transmisión, lo que mejora el desempeño de la circuitería.La descompresión del código recibido deja conseguir la próxima tabla:

Decodificación binaria de Ley MuCódigo Comprimido de ocho bitsCódigo Lineal de salidaS000ABCDS00000001ABCD1S001ABCDS0000001ABCD10S010ABCDS000001ABCD100S011ABCDS00001ABCD1000S100ABCDS0001ABCD10000S101ABCDS001ABCD100000S110ABCDS01ABCD1000000S111ABCDS1ABCD10000000

El rango activo (RD) de la Ley Mu es la relación en decibelios de la mayor amplitud cuantificable y de la amplitud más pequeña que ocupa el primer segmento de la curva F(x). Como la máxima magnitud es de ocho mil ciento cincuenta y nueve y el valor mínimo de cuantificación del primer segmento es treinta y uno (los 5 cinco bits menos significativos del primer renglón en la primera tabla), entonces el rango activo (RD) se calcula así:

RD=20log?(ochocientos quince mil novecientos treinta y uno)=48,4dB

que es algo menor que el calculado para la Ley A.


Este algoritmo se emplea eminentemente para la codificación de voz humana, en tanto que su funcionamiento explota las peculiaridades de esta. Las señales de voz están formadas en una gran parte por amplitudes pequeñas, puesto que son las más esenciales para la percepción del habla, por ende estas son muy probables. En cambio, las amplitudes grandes no aparecen tanto, en consecuencia tienen una probabilidad de aparición bajísima.


En el en caso de que una señal de audio tuviese una probabilidad de aparición de todos y cada uno de los niveles de amplitud por igual, la cuantificación ideal sería la uniforme, mas en el caso de la voz humana esto no ocurre, estadísticamente aparecen con considerablemente más frecuencia niveles bajos de amplitud.


El algoritmo de Ley Mu explota el factor de que los altos niveles de amplitud no precisan tanta resolución como los bajos. En consecuencia, si se proveen más niveles de cuantificación a las bajas amplitudes y menos a las altas se logra más resolución, un fallo de cuantificación inferior y por consiguiente una relación señal/ruido (SNR) superior que si se hiciese de forma directa una cuantificación uniforme para todos y cada uno de los niveles de la señal.


Esto hace que si para una determinada SNR se precisan, por poner un ejemplo, dieciseis bits utilizando una cuantificación uniforme, para exactamente la misma SNR utilizando la codificación Ley µ se requieren ocho bits, puesto que el fallo de cuantificación es menor.


El algoritmo de Ley Mu fundamenta su funcionamiento en un proceso de compresión y expansión llamado compansión.Se aplica una compresión/expansión de las amplitudes y más tarde una cuantificación uniforme. Las amplitudes de la señal de audio pequeñas son expandidas y las amplitudes más elevadas son comprimidas.


El funcionamiento se fundamenta en que en el momento en que una señal pasa mediante un compansor, el intervalo de las amplitudes pequeñas de entrada es representado por un intervalo de cuantificación más grande en la salida, y el intervalo de las amplitudes más elevadas pasa a ser representado en un intervalo de cuantificación más pequeño en la salida, tal y como se muestra en la figura anexa:

Representación de intervalos de cuantificación con el algoritmo de Ley Mu

Esta figura muestra que los valores de entrada (línea horizontal) contenidos en el intervalo (amplitudes pequeñas) están representados en la salida (línea vertical) en el intervalo con lo que se comprueba que hay una expansión digital. Por otro lado, los valores de entrada contenidos en los intervalos y son representados en la salida en los intervalos y lo que representa una compresión digital.


Digitalmente, este esquema es equivalente a aplicar una cuantificación no uniforme (logarítmica) a la señal original, en la que existen pequeños pasos de cuantificación para los valores pequeños de amplitud y pasos de cuantificación grandes para los valores grandes de amplitud. Para recobrar la señal en el destino, se aplica la función inversa.


Por lo tanto, la implementación del sistema consiste en aplicar a la señal de entrada una función logarítmica y una vez procesada, efectuar una cuantificación uniforme. Es exactamente lo mismo que decir que el paso de cuantificación prosigue una función del tipo logarítmico.


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