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Existen 2 géneros de algoritmos de Ley-A: una versión analógica y otra digital cuantizada.


Versión analógica


Para una entrada x determinada, la ecuación para la codificación conforme la Ley A es:

F(x)=sgn?(x){A|x|1+ln?(A)si|x|<1A1+ln?(A|x|)1+ln?(A)si1A=|x|=1

en la cual:


A=87.6: Factor de compresión conforme la Recomendación G. setecientos once, utilizado en los sistemas TDM/PCM bajo la Recomendación G. setecientos treinta y dos.

sgn?(x): es la función signo.

Si A = 1, la entrada es igual al salir.


La función inversa es la siguiente:

F-1(y)=sgn?(y){|y|(1+ln?(A))A,si|y|<11+ln?(A)exp?(|y|(1+ln?(A))-1))Asi11+ln?(A)=|y|<1

en la que exp?() es la función exponencial.


Versión digital


La Ley A, en su forma cuantificada digital está definida en la Recomendación G.711. El comportamiento de la cuantificación se acerca al de la codificación analógica a través de catorce segmentos rectilíneos (siete para señales positivas y siete para negativas), mas como los segmentos que pasan por el origen son colineales, estos se consideran uno solo. Los segmentos se llaman ±0, ±1 hasta ±6. Digitalmente, es aplicada una cuantificación no uniforme (logarítmica) a la señal original, en la que existen pequeños pasos de cuantificación para los valores pequeños de amplitud y pasos de cuantificación grandes para los valores grandes de amplitud. El algoritmo, en su versión digital, es un sistema de compresión con pérdidas en comparación con la codificación lineal normal. Esto quiere decir que al recobrar la señal, esta no va a ser precisamente igual a la original. La codificación de Ley-A toma los trece bits (o dieciseis bits transformados a trece) de las muestras de las señales de audio y las comprime a un valor de ocho bits, así:

Codificación binaria de Ley ASegmentoCódigo de entrada lineal de trece bitsCódigo Comprimido de ocho bits0S0000000ABCDXS000ABCD0S0000001ABCDXS001ABCD±1S000001ABCDXXS010ABCD±2S00001ABCDXXXS011ABCD±3S0001ABCDXXXXS100ABCD±4S001ABCDXXXXXS101ABCD±5S01ABCDXXXXXXS110ABCD±6S1ABCDXXXXXXXS111ABCD

donde S es el bit de signo (0=positivo y 1=negativo) el que pasa de forma directa al código comprimido y "ABCD" corresponde a los bits de datos .Por ejemplo, 1000000010101111 es transformado en diez mil diez (conforme a la primera fila de la tabla), y 0000000110101111 es transformado en once mil diez (conforme a la segunda fila). Esto puede ser visto como un número en notación de punto flotante con cuatro bits de mantisa y tres bits de exponente. A lo largo de la compresión, como se observa en la tabla, se descartan los bits menos significativos de las señales grandes. La cantidad de estos bits representa cada uno de ellos de los segmentos en que se divide por tramos la curva F(x). Cada segmento es representado por 3 bits, los que pasan al código comprimido tras el bit de signo "S".


Adicionalmente, la Recomendación G.711 detalla que los bits pares resultantes han de ser invertidos ya antes de mandar el octeto de bits, lo que sirve para acrecentar la densidad de transiciones y facilitar el proceso de restauración de la señal de reloj del sistema en el receptor PCM. La inversión del código comprimido se realiza sometiéndolo a la operación o bien exclusiva con el valor hexadecimal 0x55 (equivalente al valor binario 0b10101010). La decodificación del patrón comprimido consiste en invertir los pasos previamente descritos obteniéndose esta segunda tabla:

Decodificación binaria de Ley ACódigo Comprimido de ocho bitsCódigo Lineal de salidaS000ABCDS0000000ABCD1S001ABCDS0000001ABCD1S010ABCDS000001ABCD10S011ABCDS00001ABCD100S100ABCDS0001ABCD1000S101ABCDS001ABCD10000S110ABCDS01ABCD100000S111ABCDS1ABCD1000000

El rango activo (RD) de la Ley A es la relación en decibelios de la mayor amplitud cuantificable y de la amplitud más pequeña que ocupa el primer segmento de la curva F(x). Como la magnitud se expresa con un número de doce bits y equivale al número cuatro mil noventa y seis (212) y el valor mínimo de cuantificación del primer segmento es de quince, entonces el rango activo (RD) se calcula así:

RD=20log?(cuatrocientos nueve mil seiscientos quince)=48.7dB

que es tenuemente mayor que el calculado para la Ley Mu.


Este algoritmo se emplea eminentemente para la codificación de voz humana, puesto que su funcionamiento explota las peculiaridades de esta. Las señales de voz están formadas en una gran parte por amplitudes pequeñas, en tanto que son las más esenciales para la percepción del habla, por consiguiente estas son muy probables. En cambio, las amplitudes grandes no aparecen tanto.


En el en el caso de que una señal de audio tuviese una probabilidad de aparición de todos y cada uno de los niveles de amplitud por igual, la cuantificación ideal sería la uniforme, mas en el caso de la voz humana esto no ocurre, estadísticamente aparecen con considerablemente más frecuencia niveles bajos de amplitud. El algoritmo Ley A explota el factor de que los altos niveles de amplitud no precisan tanta resolución como los bajos. Por tanto, si damos más niveles de cuantificación a las bajas amplitudes y menos a las altas lograremos más resolución, un fallo de cuantificación inferior y en consecuencia una relación SNR superior que si realizáramos de manera directa una cuantificación uniforme para todos y cada uno de los niveles de la señal.


Esto hace que si para un determinado SNR fijado precisamos por servirnos de un ejemplo dieciseis bits utilizando una cuantificación uniforme, para exactamente el mismo SNR utilizando la codificación Ley A precisemos ocho bits, puesto que el fallo de cuantificación es menor y podemos dejarnos utilizar menos bits para conseguir exactamente el mismo SNR.


El algoritmo Ley A fundamenta su funcionamiento en un proceso de compresión y expansión llamado companding. Se aplica una compresión/expansión de las amplitudes y más tarde una cuantificación uniforme. Las amplitudes de la señal de audio pequeñas son expandidas y las amplitudes más elevadas son comprimidas.


Esto se puede comprender de la próxima forma; en el momento en que una señal pasa mediante un compansor (torno-expansor), el intervalo de las amplitudes pequeñas de entrada es representado en un intervalo más largo en la salida, y el intervalo de las amplitudes más elevadas pasa a ser representado en un intervalo más pequeño en la salida. En la próxima figura podemos verlo con claridad:

Gráfico de compresión de la Ley-A con respecto a la Ley-Mu

Ésta figura muestra que el rango de los valores de entrada (línea horizontal) contenidos en el intervalo (amplitudes pequeñas) están representados en la salida (línea vertical) en el intervalo más o menos. Podemos revisar que hay una expansión.


Por otra parte vemos que los valores de entrada contenidos en el intervalo y son representados en la salida en los intervalos y Podemos revisar que se genera una compresión.


Digitalmente, todo este esquema es equivalente a aplicar una cuantificación no uniforme (logarítmica) a la señal original, donde vamos a tener pequeños pasos de cuantificación para los valores pequeños de amplitud y pasos de cuantificación grandes para los valores grandes de amplitud. Para recobrar la señal en el destino deberemos aplicar la función inversa.


Por lo tanto, la implementación del sistema consiste en aplicar a la señal de entrada una función logarítmica y una vez procesada efectuar una cuantificación uniforme. Es exactamente lo mismo que decir que el paso de cuantificación prosigue una función del tipo logarítmico.


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