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salud  Inducción hacia atrás 


La Inducción cara atrás es el proceso de razonar atrás en el tiempo, desde el final de un inconveniente o bien situación, para determinar una secuencia de acciones perfectas. Se procede, primeramente tomando en cuenta la última vez que se realizo una resolución y se escoge qué hacer en ese instante. Con esta información, se puede entonces determinar lo que debería hacer en la penúltima resolución. Este proceso prosigue atrás hasta el momento en que se ha determinado la mejor acción para cada situación posible (esto es, para cada posible conjunto de información) en todos y cada punto en el tiempo.


En el procedimiento matemático de optimización programación activa, la inducción atrás es uno de los primordiales métodos para solucionar la ecuación de Bellman. En la teoría de juegos, la inducción atrás es un procedimiento empleado para calcular el perfecto equilibrio en subjuegos en los juegos secuenciales. La única diferencia es que la optimización implica un solo tomador de resoluciones , que escoge lo que debe hacer en todos y cada instante del tiempo, al paso que la teoría de juegos examina de qué manera las resoluciones de múltiples jugadores interaccionan. O sea, a través de la previsión de lo que el último jugador que escoge hará en esa situación, es posible determinar que hará el penúltimo jugador en escoger, y de esta forma consecutivamente. En los campos relacionados con la planificación automática y la programación automatizada y demostración automática de teoremas, el procedimiento lleva por nombre busca atrás o bien encadenamiento cara atrás . En el ajedrez tiene por nombre ajedrez retrospectivo.


La inducción atrás se ha empleado para solucionar juegos desde el momento en que la teoría de juegos ha existido. John von Neumann y Oskar Morgenstern sugieren la solución de un juego de máxima cero, juegos de 2 personas por inducción atrás en su libro Teoría de Juegos y Comportamiento Económico (mil novecientos cuarenta y cuatro), el libro que estableció la teoría de juegos como un campo de estudio. El término de inducción cara atrás asimismo está relacionado con el Premio Nobel de Economía Reinhard Selten, uno de los autores del término de perfecto equilibrio en subjuegos, la noción de equilibrio de referencia para juegos secuenciales.


Problema de resolución individual


Partimos de un individuo desempleado con capacidad para trabajar diez años más (T=10). Supongamos que de año en año que se halla sin empleo, puede llegarle una buena oferta de empleo retribuido con cien euros, o bien una mala oferta de empleo retribuida con cuarenta y cuatro euros, precisamente con exactamente la misma probabilidad (cincuenta por ciento ). Si decide admitir una de las dos ofertas, continuará en ese trabajo a lo largo de diez años. "¿Debería este individuo admitir malas ofertas de empleo?" Podemos contestar a esta pregunta mediante la inducción cara atrás.



  • En el año diez (t=10), el valor de admitir una buena oferta de empleo es de cien euros, y el de admitir una mala oferta de empleo es de cuarenta y cuatro euros, si rechazamos las ofertas recibimos 0 euros. Con lo que si el individuo en el último periodo prosigue sin empleo debe admitir cualquier trabajo.


  • En el año nueve (t=9), el valor de admitir una buena oferta de empleo es de doscientos euros, y el de admitir una mala oferta de empleo es de ochenta y ocho euros (44*2). Si rechazamos una oferta de empleo recibimos 0 euros, más el valor de aguardar la próxima oferta de empleo, cien euros o bien cuarenta y cuatro euros con cincuenta por ciento de probabilidad, valor aguardado = setenta y dos euros (0,5*(100+44)). Con lo que, con independencia de si la oferta es buena o bien mala debe admitir esa oferta en lugar de aguardar otra mejor.


  • En el año ocho (t=8),el valor de admitir una buena oferta de empleo es de trescientos euros, y el de admitir una mala oferta de empleo es de ciento treinta y dos euros (44*3). Si rechazamos una oferta de empleo recibimos 0 euros, más el valor aguardado de aguardar una oferta de empleo en el año nueve. Como sabemos que las ofertas en el año nueve deben admitirse, el valor aguardado de aguardar una oferta de empleo en el año nueve va a ser = ciento cuarenta y cuatro euros (0,5*(200+88)). Con lo que, en el año ocho, es preferible aguardar una nueva oferta de empleo que admitir una mala.

Como conclusión conseguimos que las ofertas malas solo se deberían admitir si no se tiene empleo en los años nueve o bien diez, rechazándose hasta el año ocho. Si consideramos que vamos a ocupar un puesto a lo largo de múltiples años, habríamos de ser exigentes con las diferentes ofertas.


Inducción cara atrás en un inconveniente de resolución secuencial


En la imagen precedente se muestra un caso para un juego que tiene un Equilibrio de Nash no perfecto y un perfecto equilibrio en subjuegos. Las estrategias para el jugador 1 vienen dadas por al paso que el jugador dos tiene la opción entre .


Matriz de pagos que nos deja encontrar los equilibrios del juego


Equilibrio perfecto en subjuegos Equilibrio de Nash no perfecto Para aplicar el algoritmo de inducción cara atrás, empezamos el análisis por los nodos finales (aquellas resoluciones donde el juego terminaría). Los pertinentes al jugador dos. Si dos tuviese que desplazar en el nodo izquierdo escogería U1, pues (tres es mayor que 1). S i tuviera que desplazar en el nodo de la derecha escogería K2 (1 es mayor que 0). Considerando ahora el único nodo "penúltimo" el del jugador 1, como este jugador sabe adelantar lo que va a hacer el jugador dos racional, 1 escogerá R ( dos es mayor que 1).

Teniendo entonces dos equilibrios,  Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos y Equilibrio de Nash no Perfecto.

Juego del Ultimátum


Considere el juego del ultimátum , donde un jugador plantea dividir cierta cantidad de dinero con otro (suponemos que los dos jugadores son ególatras). El primer jugador (el proponente) sugiere una división entre los 2 jugadores. El segundo jugador tiene la opción de admitir la división o bien rechazarla. Si el segundo jugador admite, los dos consiguen la cantidad sugerida por el proponente. Si es rechazado, ninguno recibe nada.Considere las acciones del segundo jugador dada cualquier propuesta arbitraria del primer jugador (que le da al segundo jugador más de cero). Como la única opción que tiene el segundo jugador en todos y cada uno de ellos de estos puntos del juego es escoger entre algo y nada, uno puede aguardar que el segundo admita. Puesto que el segundo admitirá todas y cada una de las propuestas ofrecidas por el primero (que le dan al segundo nada), el primero debe plantear dar el segundo lo menos posible. Este es el único perfecto equilibrio en subjuegos del juego del ultimátum. (No obstante, el juego del ultimátum tiene otros muchos equilibrios de Nash que no son idóneos para el subjuego).


Juego del Ciempiés (versión reducida)


Representa una situación en la que es ventajoso para los dos jugadores proseguir el juego, incluso cuando uno de los jugadores desee concluir el día de hoy, si supiera que el otro está presto a concluirlo mañana. Nuestro juego se desarrolla en tres fases, en las que los jugadores deciden Proseguir (C) o bien Concluir (T).



  • En primer sitio, situémonos en el final del juego donde el jugador 1 debe seleccionar entre Seguir con un (pago =2), o Acabar con (pago =3). Meridianamente escogerá Concluir.
  • En segundo sitio, el jugador 2( que sabe que el jugador 1 es racional) debe de decidir entre Acabar con un (pago=4), o Seguir con (pago=3). Obviamente escogerá Finalizar.
  • Y para finalizar, el jugador 1 debe escoger Acabar con un (pago=1), o Proseguir con un (pago=0).Elegirá Acabar.

Equilibrio de Nash (T,T,T) Los pagos del nodo final del juego, (tres,3) y (dos,5), son los dos rigurosamente mejores que la solución de equilibrio (uno con uno). Mas esos resultados no se pueden lograr, puesto que el jugador dos no seguirá, con lo que el jugador 1 anticipándose decide Acabar el juego.


Aplicación de la inducción cara atrás a los juegos de mesa


Hay juegos como las damas y el ajedrez que se identifican por ser juegos finitos con información perfecta. El poder aplicarles la inducción cara atrás deja localizar los resultados perfectos en subjuegos, esto tiene gran relevancia con respecto a la busca de buenas estrategias de juego. Si encarásemos a un jugador cualquiera, contra un computador capaz de aplicar el algoritmo de inducción cara atrás a juegos tan complejos como el ajedrez o bien las damas, nuestro jugador saldría siempre y en todo momento perdedor. Pues, el computador sabría que estrategia jugar en todos y cada instante del juego para lograr la victoria.


Inducción cara atrás y entrada económica


Considere un juego activo en el que los jugadores son dos empresas, una compañía establecida en una industria y otra con posibilidad de ingresar en esa industria. La compañía establecida tiene el monopolio de la industria y no desea perder participación en el mercado. Si la otra empresa decide no ingresar, la compañía ya establecida recibe un pago elevado (sostiene su monopolio) y la nueva ni pierde ni gana (su pago es cero). Si la nueva empresa decide ingresar, la compañía ya establecida puede "batallar" o bien "acomodar" a la nueva. Luchará bajando su costo, haciendo que la nueva empresa salga del negocio (y también incurra en costos de salida, un beneficio negativo) y dañe sus beneficios. Si decide acomodar, va a perder ciertas de sus ventas, mas sostendrá un coste elevado y va a recibir mayores ganancias que bajando su costo (mas menor que las ganancias del monopolio). Considere si la mejor contestación del monopolista es amoldarse si la nueva empresa decide ingresar. Si el monopolista se acomoda, la mejor contestación de la nueva empresa es ingresar (y conseguir ganancias). Por tanto, el perfil de estrategias en el que entra la nueva y el monopolista se acomoda es un equilibrio de Nash consistente con la inducción cara atrás. No obstante, si el monopolista riña, la mejor contestación de la nueva es no ingresar, y si la nueva no ingresa, no importa lo que el monopolista decida hacer. Por consiguiente, el perfil de estrategias en el que riña el monopolista si entra la nueva, mas la nueva no entra asimismo es un equilibrio de Nash. No obstante, si la nueva ingresase, la mejor contestación del monopolista es acomodarse: la amenaza de enfrentamientos no es admisible. Este segundo equilibrio de Nash puede por ende ser eliminado por inducción cara atrás.


Supongamos que a un preso se le afirma que va a ser ahorcado en algún instante entre el primer día de la semana y el viernes de la semana próxima. No obstante, el día preciso va a ser una sorpresa (o sea, no va a saber la noche precedente que va a ser ejecutado al día después). El preso, interesado en burlar a su verdugo, procura determinar qué día va a ocurrir la ejecución. El razona que no puede suceder el viernes, en tanto que si no hubiese ocurrido ya antes del final del jueves, sabría que la ejecución sería el viernes. Por ende, el puede quitar el viernes como una posibilidad. Con el viernes eliminado, decide que no puede suceder el jueves, puesto que si no hubiese ocurrido el miércoles, el sabría que debía ser el jueves. Por consiguiente, el puede quitar el jueves. Este argumento sigue hasta el momento en que haya eliminado todas y cada una de las posibilidades. El concluye que no va a ser ahorcado la semana próxima. Para su sorpresa, le cuelgan el miércoles. Cometió el fallo de suponer que sabía de forma terminante si el factor futuro ignoto que podría ocasionar su ejecución podía razonar. Acá el preso razona por inducción cara atrás, mas semeja llegar a una conclusión falsa. No obstante, tenga presente que la descripción del inconveniente supone que es posible asombrar a alguien que está efectuando una inducción cara atrás. La teoría matemática de la inducción cara atrás no hace esta suposición, con lo que la paradoja no cuestiona los resultados de esta teoría.


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