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[Enciclopedia Online Gratuita] Diccionario de Internet y Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC):

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salud  Forma normal prenexa 


En lógica de primera importancia, una fórmula bien formada tiene forma normal prenexa si está escrita encabezada por una cadena de cuantificadoresexistenciales o bien universales, seguidos por una fórmula sin cuantificadores lógicos, designada como «matriz».


Toda fórmula es equivalente en lógica tradicional a una fórmula en forma normal prenexa. Por poner un ejemplo, si ?(y), ?(z), y ?(x) son fórmulas sin cuantificar con las variables libres mostradas, luego

?x?y?z(?(y)?(?(z)??(x)))

está en forma normal prenexa, con la matriz ?(y)?(?(z)??(x)), mientras que que

?x((?y?(y))?((?z?(z))??(x)))

es como resulta lógico equivalente mas no en forma prenexa.


El término «prenexa» viene del latínpraenexus, pasadoparticipio de praenectere, que significa «atado» o bien «atado en el frente».


Cuando una fórmula en forma normal prenexa solo tiene cuantificadores universales, diríase que está en forma normal de Skolem. Toda fórmula en forma normal prenexa es como resulta lógico equivalente a una en forma normal de Skolem, y la forma de llegar de una a otra se llama skolemización.


Toda fórmula de primera importancia es como es lógico equivalente a alguna fórmula en forma prenexa. Existen algunas reglas de conversión que pueden ser aplicadas recursivamente para transformar una fórmula a forma prenexa. Las reglas dependen de qué conectiva lógica (o bien conectivas) y cuantificador (o bien cuantificadores) aparezcan en la fórmula.


Conjunción y disyunción


Las reglas para la conjunción y la disyunción afirman que

(?x?)?? es equivalente a ?x(???),(?x?)?? es equivalente a ?x(???);

Y

(?x?)?? es equivalente a ?x(???),(?x?)?? es equivalente a ?x(???).

Las equivalencias son válidas cuando x no aparece como variable libre de ?; si x sí aparece libre en ?, ha de ser sustituida por otra variable libre.


Por ejemplo, en el lenguaje de los anillos,

(?x(x2=1))?(0=y) es equivalente a ?x(x2=1?0=y),

pero

(?x(x2=1))?(0=x) no es equivalente a ?x(x2=1?0=x)

porque la fórmula en la izquierda es auténtica en cualquier anillo cuando la variable libre x es igual a 0, al paso que la fórmula de la derecha no tiene variables libres, y es falsa en cualquier anillo no-trivial.


Las reglas para la negación afirman que

¬?x? es equivalente a ?x¬?

y

¬?x? es equivalente a ?x¬?.

Hay 4 reglas para la implicación: 2 que remueven los cuantificadores del antecedente y 2 que remueven los cuantificadores del coherente. Estas reglas pueden ser derivadas reescribiendo la implicación ??? como ¬??? y aplicando las reglas para la disyunción de arriba. Tal y como las reglas de la disyunción, estas reglas requieren que la variable cuantificada en una subfórmula no aparezca libre en otra subfórmula.



Las reglas para remover cuantificadores del antecedente son:

(?x?)?? es equivalente a ?x(???),(?x?)?? es equivalente a ?x(???).

Las reglas para remover cuantificadores del coherente son:

??(?x?) es equivalente a ?x(???),??(?x?) es equivalente a ?x(???).

Supóngase que ?, ?, y ? son fórmulas sin cuantificar y no comparten variable libre alguna. Considerese la fórmula

(???x?)??z?.

Aplicando recursivamente las reglas comenzando por las subfórmulas internas, la próxima secuencia de fórmulas como es lógico equivalentes pueden obtenerse:

(?x(???))??z?,?x((???)??z?),?x(?z((???)??))),?x?z((???)??).

Esta no es la única forma prenexa equivalente a la fórmula original. Por servirnos de un ejemplo, abordando el coherente ya antes que el antecedente en el ejemplo, la manera prenexa

?z?x((???)??)

Puede ser obtenida:

?z((???x?)??)?z((?x(???))??),?z(?x((???)??)),?z?x((???)??).

Lógica intuicionista


Las reglas para transformar una fórmula a una en forma prenexa hace complicado el manejo de la lógica tradicional.En lógica intuicionista no sucede que toda fórmula es como resulta lógico equivalente a una fórmula prenexa. La negación de una conectiva es un obstáculo, mas no es el único. La implicción asimismo recibe un tratamiento en lógica intuicionista que en la lógica clásica; en lógica intuicionista, no es definible utilizando la negación y la disyunción.


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