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ıllı Forma normal de un juego wiki: info, historia y vídeos

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salud  Forma normal de un juego 


En teoría de juegos, la manera normal es una forma de describir un juego. En contraste a la manera extensiva, las representaciones en forma normal no son grafos, sino más bien matrices. Esto puede ser de enorme utilidad en el momento de identificar estrategias rigurosamente dominantes y equilibrios de Nash. Por otro lado se pierde algo de información si la equiparamos con la manera extensiva, puesto que esta incluye todas y cada una de las estrategias de cada jugador así como sus recompensas.


En juegos estáticos de información completa y perfecta, una forma normal de representación de un juego es una especificación de los espacios de estrategia de los jugadores y las funciones de recompensa. Un espacio de estrategia de un jugador es el conjunto de estrategias libres para ese jugador, al paso que una estrategia es un plan completo de acción para cada situación del juego, sin tener en consideración si esa situación se da verdaderamente en el juego. Una función de recompensa de un jugador es una correspondencia entre el producto cruzado de los espacios de estrategia de los jugadores y el conjunto de recompensas del jugador (por norma general, el conjunto de los números reales, donde el número representa una utilidad ordinal o bien cardinal - de forma frecuente cardinal) de un jugador, por servirnos de un ejemplo la función de recompensa de un jugador toma como entrada un perfil de estrategia (esto es, la especificación de las estrategias de cada jugador) y da sitio a una representación de la recompensa a su salida.

Un juego en forma normalJugador dos escoge izquierdaJugador dos escoge derechaJugador 1 escoge arriba4, tres-1, -1Jugador 1 escoge abajo0, tres, 4

La matriz de la derecha es una representación en forma normal de un juego en el que los jugadores mueven simultáneamente (o bien, por lo menos, no conocen el movimiento del otro jugador) y reciben las recompensas como se detalla para la combinación jugada. Por servirnos de un ejemplo, si el jugador 1 escoge arriba y el jugador dos escoge izquierda, el jugador 1 recibe cuatro y el jugador dos recibe tres. En todos y cada celda, el primer número representa la recompensa del jugador de las filas (en un caso así el jugador 1), y el segundo número representa la recompensa del jugador de las columnas (en un caso así el jugador dos).


Otras representaciones


A menudo, los juegos simétricos (donde las recompensas no dependen de qué jugador realice cada acción) se representan por una sola recompensa. Esta es la recompensa del jugador de las filas. Por poner un ejemplo, las matrices de recompensa de la derecha y la izquierda representan exactamente el mismo juego.

Los dos jugadoresCiervoLiebreCiervo3, treinta, 2Liebre2, dos, 2Sólo filasCiervoLiebreCiervo30Liebre22

Estrategias dominadas


La matriz de recompensas facilita la supresión de estrategias dominadas, y se emplea frecuentemente para ilustrar este término. Por poner un ejemplo, en el problema del preso (a la derecha), se puede determinar que Colaborar está rigurosamente dominado por Traicionar. Se deben equiparar los primeros números de cada columna, en un caso así 3>2 y 1>0. Esto muestra que no importa lo que haga el jugador de las columnas, el jugador de las filas va a hacer mejor eligiendo Traicionar. Similarmente, se equipara la segunda recompensa de cada fila; otra vez 3>2 y 1>0. Esto muestra que no importa lo que haga el jugador de las columnas, el de las filas va a hacer mejor eligiendo Traicionar. Esto prueba que el único equilibrio de Nash de este juego es (Traicionar, Traicionar).


Juegos secuenciales en forma normal

Un juego secuencialIzquierda, IzquierdaIzquierda, DerechaDerecha, IzquierdaDerecha, DerechaArriba4, treinta y cuatro, tres-1, -1-1, -1Abajo0, tres, cuarenta, tres, 4

Estas matrices solo representan juegos en el que los movimientos son simultáneos (o bien, de forma más general, la información es imperfecta). La matriz de arriba no representa el juego en el que el jugador 1 mueve primero, es observado por el jugador dos y entonces dos mueve por el hecho de que no detalla todas y cada una de las estrategias de dos en un caso así. Para representar este juego secuencial debemos precisar todas y cada una de las acciones del jugador dos, aun en estrategias de situaciones que jamás pueden darse en el curso del juego. En este juego, el jugador dos tiene 2 acciones posibles, como anteriormente, Izquierda y Derecha. Al revés que ya antes, tiene 4 estrategias, dependientes de las acciones del jugador 1. Estas estrategias son:



  1. Izquierda si 1 escoge Arriba y también Izquierda si no lo hace.
  2. Izquierda si 1 escoge Arriba y Derecha si no lo hace.
  3. Derecha si 1 escoge Arriba y también Izquierda si no lo hace.
  4. Derecha si 1 escoge Arriba y Derecha si no lo hace.

A la derecha está la representación en forma normal de este juego.


Para que un juego esté representado en forma normal, deben cumplirse los próximos requisitos:



  • Hay un conjunto finito P de jugadores
Sk=.

Un perfil de estrategia pura es una asociación de estrategias con jugadores, que es una m-tupla

s?=(s1,s2,…,sm)

tal que

s1?S1,s2?S2,…,sm?Sm

Llamamos al conjunto de perfiles de estrategia S


Una función de recompensa es una función

F:S?R.

cuya interpretación es el premio que recibe cada jugador al final del juego. Conforme con esto, para detallar por completo un juego, la función de recompensa debe precisarse para cada jugador del conjunto de jugadores P=. El juego es entonces una función

p:?i?NSi?RN

Definición: Un juego en forma normal es una estructura

(P,S,F)

donde P = es un conjunto de jugadores,

S=(S1,S2,…,Sm)

es una m-tupla de conjuntos de estrategias puras, una para cada jugador, y

F=(F1,F2,…,Fm)

es una m-tupla de funciones de recompensa.


No existe ninguna razón para excluir juegos que tienen un número infinito de jugadores o bien un número infinito de estrategias por jugador. No obstante, el estudio de los juegos infinitos es más bastante difícil, puesto que requiere utilizar técnicas de análisis funcional.


Una generalización auxiliar puede ser conseguida dividiendo el juego en 2 funciones: la "forma normal del juego", que describe la forma en que las estrategias definen acontecimientos, y una segunda función, que ilustra las preferencias del jugador sobre el conjunto de acontecimientos. Así:

p:?i?NSi?G

donde G es el conjunto de acontecimientos del juego. Y para cada jugador i?N hay una función de preferencia

?i:G?R.


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