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ıllı Filtro de Kalman wiki: info, historia y vídeos

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wikiRudolf Emil Kalman, co-inventor y desarrollador del Filtro de Kalman.wikiAlgoritmo recursivo del Filtro de Kalman

El filtro de Kalman es un algoritmo desarrollado por Rudolf Y también. Kalman en mil novecientos sesenta que sirve para poder identificar el estado escondo (no medible) de un sistema activo lineal, como el observador de Luenberger, mas sirve además de esto cuando el sistema está sometido a estruendos blanco aditivo. La diferencia entre los dos es que en el observador de Luenberger, la ganancia K de realimentación del fallo ha de ser escogida "a mano", al tiempo que el filtro de Kalman es capaz de elegirla de forma perfecta cuando se conocen las varianzas de los ruidos que afectan al sistema. En tanto que el Filtro de Kalman es un algoritmo recursivo, este puede correr en tiempo real utilizando solamente las mediciones de entrada actuales, el estado calculado anteriormente y su matriz de inseguridad, no requiere ninguna otra información auxiliar.


El filtro de Kalman tiene numerosas aplicaciones en tecnología. Una aplicación común es la guía, navegación y control de automóviles, singularmente naves espaciales. Además de esto el filtro es extensamente utilizado en campos como procesamiento de señales y econometría.


Se comprende como espacio de estado todos y cada uno de los posibles estados de un sistema activo. Cada estado corresponde a un punto del espacio de estado.

Caso de tiempo discreto:

Se tiene un sistema representado en el espacio de estado:


xk=Ak-1xk-1+Bk-1uk-1+wk-1


zk=Hkxk+vk


donde:


wk es estruendos blanco de valor promedio igual a cero y con varianza Qk en el momento k.


vk es estruendos blanco de valor promedio igual a cero y con varianza Rk en el momento k.


El filtro de Kalman deja apreciar el estado xk desde las mediciones precedentes de uk-i, zk-i, Qk-i, Rk-i y las estimaciones precedentes de xk-i.

Caso de tiempo continuo:

Se tiene un sistema representado en el espacio de estado:


ddtx(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)+w(t)


z(t)=C(t)x(t)+v(t)


donde:


w(t) es estruendos blanco de valor promedio igual a cero y con varianza Q(t) en el intervalo de tiempo descrito como t.


v(t) es estruendos blanco de valor promedio igual a cero y con varianza R(t) en el intervalo de tiempo descrito como t.


El filtro de Kalman deja querer el estado x(t+dt) desde las mediciones precedentes de u(t), z(t), Q(t), R(t) y las estimaciones precedentes de x(t).


El Filtro de Kalman es un algoritmo recursivo en el que el estado xk es considerado una variable azarosa Gaussiana. El filtro de Kalman acostumbra a describirse en 2 pasos: Predicción y Corrección.


Predicción

Estimación a priori

x^k|k-1=Fkxk-1|k-1


Covarianza del fallo asociada a la estimación a priori


Pk|k-1=FkPk-1|k-1FkT+Qk


Corrección

Actualización de la medición

y~k=zk-Hkx^k|k-1

Ganancia de KalmanKk=Pk|k-1HkT(HkPk|k-1HkT+Rk)-1Estimación a posteriorix^k|k=x^k|k-1+Kky~kCovarianza del fallo asociada a la estimación a posterioriPk|k=(I-KkHk)Pk|k-1

donde:


Fk: Matriz de Transición de estados. Es la matriz que relaciona xk|k-1 con xk-1|k-1 en la ausencia de funciones forzantes (funciones que dependen solamente del tiempo y ninguna otra variable).


xk|k-1: El estimado apriori del vector de estados.


Pk|k-1: Covarianza del fallo asociada a la estimación a priori.


zk: Vector de mediciones al instante k.


Hk: La matriz que señala la relación entre mediciones y el vector de estado al instante k en el presunto ideal de que no hubiese estruendos en las mediciones.


Rk: La matriz de covarianza del estruendos de las mediciones (depende de la resolución de los sensores).


En el en el caso de que el sistema activo sea no lineal, es posible utilizar una modificación del algoritmo llamada "Filtro de Kalman Extendido", el que linealiza el sistema en torno al x^(t) identificado verdaderamente, para calcular la ganancia y la dirección de corrección conveniente. En un caso así, en lugar de haber matrices A, B y C, hay 2 funciones f(x,u,w) y h(x,v) que entregan la transición de estado y la observación (la salida contaminada) respectivamente.El modelo lineal activo con observación no lineal y no Gaussiano se estudia en un caso así. Se extiende el teorema de Masreliez (ver. C. Johan Masreliez, mil novecientos setenta y cinco) como una aproximación de filtrado no Gaussiano con ecuación de estado lineal y ecuación de observaciones asimismo lineal, al caso en que la ecuación de observaciones no lineal pueda acercarse a través de el desarrollo en serie de Taylor de segunda importancia.


Kalman halló una audiencia receptiva de su filtro en el verano de mil novecientos sesenta en una visita de Stanley F. Schmidt del Ames Research Center de NASA en Mountain View (California). Kalman describió su resultado y Schmidt reconoció su potencial aplicativo - la estimación de la trayectoria y el inconveniente del control del programa Apolo. Schmidt empezó a trabajar de forma inmediata en lo que fue seguramente la primera implementación completa del filtro de Kalman. Encantado sobre el éxito del mismo, Schmidt impulsó utilizar el filtro en trabajos afines. A principios de mil novecientos sesenta y uno, Schmidt describió sus resultados a Richard H. Battin del laboratorio de instrumentación del MIT (llamado después el Hables Stark Draper Laboratory). Battin estuvo utilizando métodos de espacio de estado para el diseño y la implementación de sistemas para la navegación astronáutica, y hizo al filtro de Kalman una parte del sistema de guía del Apollo, el que fue desarrollado y desarrollado en el laboratorio de instrumentación. A mediados de la década de mil novecientos sesenta, influido por Schmidt, el filtro de Kalman se hizo una parte del sistema para la navegación del transporte aéreo C5A, siendo desarrollado por Lockheed Aircraft Company. El filtro de Kalman resolvió el inconveniente de la fusión de datos asociado con la combinación de los datos del radar con los datos del sensor inercial al conseguir una aproximación global de la trayectoria de la aeronave. Desde ese momento ha sido parte integral de la estimación de trayectorias a bordo de las aeronaves y del diseño de sistemas de control.


Desde el punto de vista de los inconvenientes que implican control y estimación, el Filtro de Kalman ha sido considerado el enorme logro en la teoría de estimación del siglo veinte. Muchos de los logros desde su introducción no hubieran sido posibles sin este. Se puede decir que el filtro de Kalman fue una de las tecnologías que dejó la era espacial puesto que la precisión y eficacia en la navegación de las naves espaciales a través del sistema solar puede no haber sido hecha sin este. El primordial empleo del filtro de Kalman ha sido en los sistemas de control modernos, en el seguimiento y navegación de todo género de automóviles, y en el diseño predictivo de estimación de exactamente los mismos.


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