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salud  Estrategia mixta 


Este artículo o bien sección tiene un estilo bastante difícil de comprender para los lectores interesados en el tema.
Si puedes, por favor edítalo y contribuye a hacerlo más alcanzable para el público general, sin quitar los detalles técnicos que interesan a los especialistas.

Los matemáticos que se dedican a la teoría de juegos han llegado a representar formalmente ciertos juegos a través de una tabla cuadrangular o bien producto cartesiano de conjuntos. Los elementos esenciales para representar formalmente un juego de esa forma son el conjunto de jugadores (N), el conjunto de estrategias puras libres (j?N) y las funciones de pago o bien ganancia para cada una de esas estregias.


En esas condiciones la representación formal de un "juego cuadrangular" consta de un conjunto N, de una compilación de conjuntos j?N y de una compilación de funciones j?N donde


A N le vamos a llamar el conjunto de jugadores, a cada Dj el conjunto de estrategias puras del jugador j y a fj la función de pago del jugador j. En ocasiones por comodidad se empleará una sola función de pago que va a consistir en estimar cada fj como la j-ésima componente de un vector N-dimensional, o sea, se considerará un juego cuadrangular (N,Dj,?), con


Denotaremos ?i?NDi=D


Estrategia mixta


Dado un juego cuadrangular (N,Dj,?j), afirmamos que Xj?Rlj es una estrategia mixta del jugador j, si para toda sj?Dj, xsjj=0 y ?sj?Djxsjj=1. El entero lj indica el número de estrategias puras del jugador j.


Intuitivamente, una estrategia mixta es un vector que asocia cierta probabilidad a cada estrategia pura del jugador j, por eso cada entrada deba ser no negativa y la suma de todas y cada una sea 1.


En una estrategia mixta Xj del jugador j, xskj se interpreta como el peso o bien probabilidad que el jugador j le asocia a su estrategia pura sk.


La letra Mj indicará al conjunto de estrategias mixtas del jugador j y M al producto cartesiano de los conjuntos Mj. A cada elemento de M lo vamos a llamar un perfil de estrategias mixtas.


En particular, podemos estimar una estrategia mixta de la manera xskj=1 para algún k, xsij=0 para todo i diferente de k. Dichas estrategias corresponden a las estrategias puras, de acá que estas últimas sean un caso en particular de las estrategia mixtas.


Función de pago esperado


La función de pago aguardado de un juego cuadrangular (N,j?N,f) es la función E:M?RN definida como:


E(X1,X2,...,XN)=?(s1,s2,...,sN)?Dxs11xs22...xsNNf(s1,s2,...,sN)


Intuitivamente, la función de pago aguardado se fundamenta en la definición de valor aguardado, o sea, el pago promedio para cada jugador va a consistir en la suma de cada ganancia posible (dada por f) por la probabilidad de que se dé esa ganancia (esta probabilidad es justamente el producto de las sj). De acá que exista implícitamente una suposición de independencia en la toma de resoluciones, esto es, si bien los jugadores puedan llegar a hacer acuerdos, al instante de tomar su resolución no existe ninguna fuerza externa que los haga sostener su promesa.


Denotaremos la función de pago aguardado del jugador j como Ej, que va a estar definida como la j-ésima componente de la función de pago aguardado.


Estas funciones son esenciales tanto en la teoría como en la práctica, puesto que están de manera estrecha relacionadas con los equilibrios de Nash.


Estrategias Mixtas y equilibrios de Nash


Fue John Forbes Nash en su tesis de doctorado quien probó que cualquier juego cuadrangular finito tiene por lo menos un equilibrio de Nash en estrategias mixtas (la existencia de equilibrios no necesariamente se da para las estrategias puras). Los equilibrios de Nash tienen relevancia vital en la teoría de juegos puesto que corresponden a estrategias estables.


Juegos de coordinación

Un juegoABA1, diez, 0B0, uno, 1

El juego mostrado a la derecha se conoce como juego de coordinación. En él, un jugador escoge las filas y otro las columnas. El jugador de las filas recibe la recompensa marcada por el primer dígito, el de las columnas la marcada por el segundo. Si el de las filas opta por jugar A con probabilidad 1 (esto es, juega A seguro), entonces juega una estrategia pura. Si el de las columnas escoge lanzar una moneda y jugar A si sale cara y B si sale cruz, entonces juega una estrategia mixta.


Piedra, papel o bien tijera


Consideremos el juego piedra, papel o bien tijera con la matriz de pagos dada por:

PiedraPapelTijeraPiedra0-1+1Papel+10-1Tijera-1+10

Supongamos que el jugador 1 juega siempre y en toda circunstancia en estrategias puras, por servirnos de un ejemplo piedra. Entonces el jugador dos podría sacar ventaja de ello jugando siempre y en todo momento papel. Una mejor contestación del jugador 1 sería entonces jugar con estrategias mixtas, o sea, asignarle cierta probabilidad a cada estrategia y en todos y cada jugada seleccionar de manera aleatoria conforme a la distribución escogida.


Puede probarse que siempre y cuando haya corte en estas probabilidades (o sea, cuando se le asigne más probabilidad a una estrategia que a otra), el otro jugador puede sacar ventaja de ello y progresar su pago aguardado. De este modo, el juego solo tiene un equilibrio de Nash y es (1/3,1/3,1/3), o sea, jugar con igual probabilidad cada estrategia (siempre que se sostengan los pagos dados por la matriz).


Competencia de empresas


Las estrategias mixtas tienen otras interpretaciones aparte de la frecuencia con la que se escoge cada estrategia pura durante diferentes juegos.


Consideremos una compañía que tiene el monopolio de un producto y una recién llegada que desea entrar a competir por dicho mercado. Justo antes que la nueva empresa entre al mercado, el monopolio decide lanzar una campaña publicitaria, para la que existen 3 opciones: Obsequiar productos (con un costo x), anunciarse en la prensa escrita (con un costo y) o bien anunciarse en medios electrónicos (con un costo z). La nueva empresa solo tiene 2 opciones: entrar a competir o bien no entrar. La matriz de pagos del juego está dada como sigue:

EntrarNo entrarRegalar muestras(cuarenta con veinte)(noventa con cero)Prensa(treinta con diez)(sesenta con cero)Medios electrónicos(cincuenta,-quince)(sesenta con cero)

Si el monopolio jugase en estrategias puras dedicaría todo el capital libre para una de las estrategias. Podemos meditar en cambio que el monopolio tiene la opción de no hacerse publicidad en un medio, sino más bien repartir el dinero libre en 2 o bien más de las estrategias. Por servirnos de un ejemplo, la estrategia mixta (1/2,1/4,1/4) quiere decir que el monopolio gastó x/2 en obsequiar muestras, y/4 en medios escritos y z/4 en medios electrónicos. Podemos entonces utilizar las estrategias mixtas para localizar la mejor contestación del monopolio frente a la amenaza del contendiente.


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