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  Cálculo relacional basado en tuplas 

Base de datos relacional

Debido a que es un lenguaje de consulta para bases de datos relacionales, primero se debe acotar una base de datos relacional. El bloque de construcción relacional básico es el dominio o bien género de datos. Una tupla o bien registro es un multiconjunto de atributos, los que son pares ordenados de dominio y valor, o bien solo una fila. Una relación es un conjunto de tuplas. Una tabla es una representación visual admitida de una relación.

Se acepta la existencia de un conjunto C de columnas, por poner un ejemplo, "nombre", "autor" o bien "dirección"; y de cabeceras como subconjuntos finitos de C. Un esquema de bases de datos relacional es definido como una tupla S = (D, R, h), donde:

• D es el dominio de los valores atómicos (un atributo es atómico si los elementos del dominio son bien simples y también indivisibles).
  
• R es un conjunto finito de nombres de relación.
  
• h es una función que asocia una cabecera con cada nombre de relación en R y se define como: h: R ? 2C

Dado un dominio D se define una tupla sobre D como una función parcial que mapea ciertos nombres de columna a un valor atómico en D; por servirnos de un ejemplo, name: "Harry", age : veinticinco.

El conjunto de todas y cada una de las tuplas sobre D se indica como TD. El subconjunto de C para el que se define una tupla t se conoce como el dominio de t (que no debe confundirse con el dominio en el esquema) y es escrito como dom(t).

Entonces se puede acotar una base de datos relacional dado un esquema S = (D, R, h) como una función:

que mapea los nombres de relación en R a subconjuntos finitos de TD, semejantes que por cada nombre de relación r en R y tupla t en db(r) se cumple que:

Es decir, que todas y cada una de las tuplas de una relación deben contener exactamente los mismos nombres de columna que se definen para el esquema.

Para la construcción de las fórmulas se acepta un conjunto infinito V de variables de tupla. Las fórmulas se definen dado un esquema de bases de datos S = (D, R, h) y una función parcial tipo : V -> 2C que define una asignación de tipo que asigna cabeceras a ciertas variables de tupla. Entonces se definen el conjunto de fórmulas atómicasAcon las próximas reglas:

1. Si v y w están en V, a en tipo(v) y b en tipo(w) entonces la fórmula "v.a = w.b" está en A
   
2. Si v está en V, a en tipo(v) y k indica un valor en D entonces la fórmula "v.a = k" está en A
   
3. Si v está en V, r en R y tipo(v) = h(r) entonces la fórmula "r(v)" está en A

Ejemplos de átomos son:

• (t.edad = s.edad) — la tupla t tiene un atributo de edad y s tiene un atributo de edad con exactamente el mismo valor
  
• (t.nombre = "Codd") — la tupla t tiene un atributo de nombre y su valor es "Codd"
  
• Libro(t) — la tupla t se halla en la relación Libro.

La semántica formal de aquellos átomos es definida dada una base de datos db sobre S y una variable de tupla val : V -> TD que mapea las variables de tupla a tuplas sobre el dominio en S:

1. "v.a = w.b" es auténtico si y solo si val(v)(a) = val(w)(b)
   
2. "v.a = k" es auténtico si y solo si val(v)(a) = k
   
3. "r(v)" es auténtico si y solo si val(v) is in db(r)

Los átomos pueden ser combinados en fórmulas, como es común en la lógica de primera importancia, con los operadores lógicos ? (and o bien y), ? (or o bien o bien) y ¬ (not o bien no), y puede utilizarse el cuantificador existencial (?) y el cuantificador universal (?) para enlazar o bien unir las variables. Se define el conjunto de fórmulas Fpor inducción con las próximas reglas:

1. Cada átomo en Aestá asimismo en F
   
2. Si f1 y f2 están en Fentonces la fórmula "f1 ? f2" está asimismo en F
   
3. Si f1 y f2 está en Fentonces la fórmula "f1 ? f2" está asimismo en F
   
4. Si f está en Fentonces la fórmula "¬ f" está asimismo en F
   
5. Si v está en V, una cabecera H y una fórmula f en F entonces la fórmula "? v: H (f)" está asimismo en F donde tipoindica la función que es igual a tipo salvo que esta mapea v a H.
   
6. Si v está en V, una cabecera H y una fórmula f en F entonces la fórmula "? v: H (f)" está asimismo en F

Ejemplos de fórmulas son:

• t.autor = "René Descartes" ? t.autor = "Óscar Gómez"
  
• Libro(t) ? Revista(t)
  
• ? t : ( ¬ ( Libro(t) ? t.autor = "René Descartes" ? ¬ ( t.materia = "revolución científica")))

Asumimos que los cuantificadores se aplican sobre el cosmos de todas y cada una de las tuplas sobre el dominio en el esquema. Esto conduce a la formulación de las próximas semánticas para fórmulas dada una base de datos db sobreS y una variable de tupla val: V -> TD:

1. "f1 ? f2" es auténtico si y solo si "f1" es auténtico y "f2" es auténtico.
   
2. "f1 ? f2" es auténtico si y solo si "f1" es auténtico o bien "f2" es auténtico o bien los dos son verdaderos.
   
3. "¬ f" es auténtico si y solo si "f" es falso.
   
4. "? v : H ( f )" es auténtico si y solo si hay una tupla t sobre D tal que dom(t) = H y la fórmula "f" es auténtica para val
   
5. "? v : H ( f )" es auténtico si y solo si para todas y cada una de las tuplas t sobre D semejantes que dom(t) = H la fórmula "f" es auténtica para val

Dado un esquema S = (D, R, h), se expresa una consulta como:

Donde v es una variable de tupla, H es una cabecera y f(v) una fórmula en Fdonde tipo = y con v como su única variable libre. El resultado de una consulta como estas para una base de datos db sobre S es el conjunto de todas y cada una de las tuplas t sobre D con dom(t) = H semejantes que f es auténtico para db y val = .

Ejemplos de consultas son:

• { t : | ? s : ( Empleado(s) ? s.sueldo = quinientos ? t.nombre = s.nombre ) }
  
• ? s : ( Proveedor(s) ? s.snombre = t.proveedor ? ? p : ( Producto(p) ? p.pnombre = t.artículo ? ? a : ( Suministros(a) ? s.s# = a.s# ? a.p# = p.p# )

Consultas independiente del dominio

Debido a que la semántica de los cuantificadores es tal que cuantifican sobre todas y cada una de las tuplas en el dominio del esquema, puede que una consulta retorne un resultado diferente para una base de datos concreta si se alardea otro esquema. Por servirnos de un ejemplo, considerando los 2 esquemas S1 = ( D1, R, h ) y S2 = ( D2, R, h ) con dominios D1 = , D2 = , nombres de relación R = y cabeceras h = . Los dos esquemas tienen una instancia común:

Si consideramos la próxima consulta:

Entonces su resultado en db o bien es bajo S1 o bajo S2. Es claro asimismo que si tomamos el dominio como un conjunto infinito, entonces el resultado de la consulta va a ser infinito. Para solucionar esos inconvenientes se consideran las consultas independiente del dominio, aquellas que regresan exactamente el mismo resultado para una base de datos bajo sus esquemas.

Consultas seguras

Con el fin de limitar las consultas de forma que expresen solamente consultas independiente del dominio, una noción sintáctica de consulta segura es introducida. Para determinar si una consulta es segura is safe se derivan 2 géneros de información de una consulta. La primera es si un par columna-variablet.a está delimitado a la columna de una relación o bien una incesante, y la segunda es si hay 2 pares columna-variable que son directa o bien de manera indirecta equivalentes (indicado t.v == s.w).

Por derivar el acotamiento se introducen las próximas reglas:

1. en "v.a = w.b" ningún par columna-variable está delimitado,
   
2. en "v.a = k" el par columna-variable v.a está delimitado,
   
3. en "r(v)" todos y cada uno de los pares v.a están delimitados por a en tipo(v),
   
4. en "f1 ? f2" todos y cada uno de los pares están delimitados de forma que están delimitados o bien en f1 o bien en f2,
   
5. en "f1 ? f2" todos y cada uno de los pares están delimitados de forma que están delimitados los dos en f1 y en f2,
   
6. en "¬ f" ninguno de los pares está delimitado,
   
7. en "? v: H (f)" un par w.a está delimitado si está delimitado en f y w <> v,
   
8. en "? v: H (f)" un par w.a está delimitado si está delimitado en f y w <> v.

Por derivar la equivalencia se introducen las próximas reglas:

1. en "v.a = w.b" se sostiene que v.a == w.b,
   
2. en "v.a = k" ninguno de los pares son equivalentes,
   
3. en "r(v)" ninguno de los pares son equivalentes,
   
4. en "f1 ? f2" se sostiene que v.a == w.b si se sostiene o bien en f1 o bien en f2,
   
5. en "f1 ? f2" se sostiene que v.a == w.b si se sostiene en f1 y en f2,
   
6. en "¬ f" ninguno de los pares son equivalentes,
   
7. en "? v : H ( f )" se sostiene que w.a == x.b si se sostiene en f y w<>v y x<>v,
   
8. en "? v : H ( f )" se sostiene que w.a == x.b si se sostiene en f y w<>v y x<>v.

Entonces diríase que una consulta f(v) es segura si:

• para cada nombre de columna a en H podemos derivar que v.a es equivalente a un par delimitado en f,
  
• para cada subexpresión de f de la manera "? w : G (g)" podemos derivar que para cada nombre de columna a en G podemos derivar que w.a es equivalente a un par delimitado en g,
  
• para cada subexpresión de f de la manera "? w : G (g)" podemos derivar que para cada nombre de columna a en G podemos derivar que w.a es equivalente a un par delimitado en g.

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